Was sind Dezimalzahlen?
Dezimalzahlen (auch Kommazahlen oder Dezimalbrüche genannt) sind Zahlen mit Nachkommastellen. Sie bestehen aus einer ganzen Zahl vor dem Komma und einem Bruchteil nach dem Komma. Beispiel: Bei $12,84$ ist die $12$ die ganze Zahl, die $8$ steht für Zehntel und die $4$ für Hundertstel. Dezimalzahlen sind eine andere Schreibweise für Brüche und werden im Alltag ständig verwendet – von Preisen über Maßeinheiten bis hin zu Noten.
Anleitung: Rechnen mit Dezimalzahlen
Addition von Dezimalzahlen
Beim Addieren von Dezimalzahlen schreibst du die Zahlen stellengerecht untereinander, sodass Komma unter Komma steht. Dann addierst du spaltenweise von rechts nach links.
Beispiel:
$$12,5 + 3,47 = ?$$
Schreibe untereinander (mit Nullen auffüllen, damit alle gleich viele Nachkommastellen haben):
$$\begin{align} 12,50 \\+ \; 3,47 \\\hline 15,97\end{align}$$
Das Ergebnis ist $15,97$.
Subtraktion von Dezimalzahlen
Die Subtraktion funktioniert genauso: Komma unter Komma schreiben, gegebenenfalls Nullen ergänzen und dann spaltenweise subtrahieren.
Beispiel:
$$9,6 - 2,35 = ?$$$$\begin{align} 9,60 \\- 2,35 \\\hline 7,25\end{align}$$
Das Ergebnis ist $7,25$.
Multiplikation von Dezimalzahlen
Bei der Multiplikation ignorierst du zunächst die Kommas und rechnest wie mit ganzen Zahlen. Danach zählst du alle Nachkommastellen beider Faktoren zusammen und setzt das Komma im Ergebnis entsprechend.
Beispiel:
$$2,5 \times 1,4 = ?$$
Rechne zunächst: $25 \times 14 = 350$
Nachkommastellen: $2,5$ hat eine, $1,4$ hat eine → insgesamt zwei Nachkommastellen.
$$2,5 \times 1,4 = 3,50 = 3,5$$
Division von Dezimalzahlen
Bei der Division wandelst du den Divisor (die Zahl, durch die geteilt wird) in eine ganze Zahl um. Dazu verschiebst du das Komma bei beiden Zahlen um die gleiche Anzahl an Stellen nach rechts.
Beispiel:
$$12,6 : 0,3 = ?$$
Verschiebe beide Kommas um eine Stelle nach rechts:
$$126 : 3 = 42$$
Das Ergebnis ist $42$.
Sonderfälle, die oft in Klassenarbeiten kommen
1) Multiplikation mit 10, 100, 1000
Beim Multiplizieren mit Zehnerpotenzen verschiebst du das Komma nach rechts.
Beispiel: $3,45 \times 10 = 34,5$ (Komma eine Stelle nach rechts)
Beispiel: $3,45 \times 100 = 345$ (Komma zwei Stellen nach rechts)
2) Division durch 10, 100, 1000
Beim Dividieren durch Zehnerpotenzen verschiebst du das Komma nach links.
Beispiel: $56,7 : 10 = 5,67$ (Komma eine Stelle nach links)
Beispiel: $56,7 : 100 = 0,567$ (Komma zwei Stellen nach links)
3) Umwandlung Bruch in Dezimalzahl
Um einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, teilst du den Zähler durch den Nenner.
Beispiel: $\frac{3}{4} = 3 : 4 = 0,75$
4) Negative Dezimalzahlen
Beim Rechnen mit negativen Dezimalzahlen gelten dieselben Vorzeichenregeln wie bei ganzen Zahlen.
Beispiel: $-2,5 + 3,7 = 1,2$ (verschiedene Vorzeichen → subtrahieren, Vorzeichen vom größeren Betrag)
Beispiel: $-1,2 \times 3 = -3,6$ (negativ mal positiv = negativ)
Aufgaben zum Üben
Leicht (5. Klasse)
- $5,3 + 2,1 = ?$
- $8,7 - 3,5 = ?$
- $4,2 \times 2 = ?$
- $9,6 : 2 = ?$
Mittel (6. Klasse)
- $12,45 + 7,8 = ?$
- $15,6 - 9,87 = ?$
- $3,5 \times 2,4 = ?$
- $18,9 : 0,3 = ?$
- $25,5 \times 10 = ?$
Schwer (7.-8. Klasse)
- $45,78 + 23,456 = ?$
- $100 - 37,89 = ?$
- $6,25 \times 4,8 = ?$
- $123,45 : 0,05 = ?$
- $7,5 \times 100 : 10 = ?$
Lösungen:
Leicht: $7,4$, $5,2$, $8,4$, $4,8$
Mittel: $20,25$, $5,73$, $8,4$, $63$, $255$
Schwer: $69,236$, $62,11$, $30$, $2469$, $75$
Typische Fehler vermeiden
- Kommas nicht untereinander schreiben: Bei Addition und Subtraktion müssen die Kommas genau untereinander stehen, sonst addierst du verschiedene Stellenwerte.
- Komma vergessen bei der Multiplikation: Nach dem Multiplizieren ohne Komma musst du die Nachkommastellen zählen und das Komma richtig setzen.
- Komma falsch verschieben bei Division: Beide Zahlen (Dividend und Divisor) müssen um die gleiche Anzahl an Stellen verschoben werden.
- Fehlende Nullen: Bei $5 - 2,3$ musst du $5$ als $5,0$ schreiben, damit du stellengerecht subtrahieren kannst.
- Runden verwechseln: Wenn gerundet werden soll, achte auf die Regel: Ab $5$ wird aufgerundet, darunter abgerundet.
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Dezimalzahlen und Brüchen?
Dezimalzahlen und Brüche sind zwei verschiedene Schreibweisen für dieselbe Zahl. $0,5$ ist die Dezimalschreibweise von $\frac{1}{2}$. Manche Brüche ergeben abbrechende Dezimalzahlen wie $\frac{1}{4} = 0,25$, andere periodische wie $\frac{1}{3} = 0,\overline{3}$.
Kann man Dezimalzahlen auch als Bruch schreiben?
Ja. Jede Dezimalzahl lässt sich als Bruch darstellen. Beispiel: $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$ (gekürzt). Die Anzahl der Nachkommastellen bestimmt den Nenner: Eine Nachkommastelle → Zehntel, zwei → Hundertstel, drei → Tausendstel.
Wie multipliziert man mit 10, 100 oder 1000?
Verschiebe das Komma nach rechts: Bei $\times 10$ eine Stelle, bei $\times 100$ zwei Stellen, bei $\times 1000$ drei Stellen. Beispiel: $1,23 \times 100 = 123$.
Was passiert, wenn ich durch eine Dezimalzahl teile?
Wandle den Divisor in eine ganze Zahl um, indem du bei beiden Zahlen das Komma gleich weit nach rechts verschiebst. Dann rechnest du die Division wie gewohnt. Beispiel: $8,4 : 0,2 = 84 : 2 = 42$.
Kann man Dezimalzahlen auch im Kopf rechnen?
Ja, bei einfachen Aufgaben. Nutze Tricks wie das Verschieben des Kommas bei Zehnerpotenzen oder das Zerlegen von Zahlen. Beispiel: $2,5 + 3,5 = 6$ (die Nachkommastellen ergeben $1$, die ganzen Zahlen $5$).