Hast du schon mal eine Potenz gesehen, die noch einmal eine Hochzahl hat? Das nennt man Potenzen potenzieren. Das mag kompliziert aussehen, ist aber mit einem einfachen Trick ganz leicht zu lösen. In diesem Ratgeber erkläre ich dir das Potenzgesetz dazu, zeige dir typische Fehler und biete dir Potenzgesetze Aufgaben.
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Das Gesetz: Eine Potenz potenzieren
Wenn eine Potenz noch einmal in Klammern steht und einen weiteren Exponenten hat, musst du die beiden Exponenten einfach multiplizieren.
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$
Beispiel:
$$(2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12} = 4096$$
Warum ist das so? Schreibe es aus: $(2^3)^4$ bedeutet $2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3$. Und nach dem Produktgesetz bei gleicher Basis addierst du die Exponenten: $3+3+3+3 = 12$. Daher rechnest du direkt $3 \cdot 4 = 12$.
Vorsicht Falle: Multiplizieren statt Addieren
Der häufigste Fehler hierbei ist, dass Schüler die Exponenten addieren statt multiplizieren. Merke dir:
- $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ (Gleiche Basis malnehmen -> Exponenten plus)
- $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ (Potenz potenzieren -> Exponenten malnehmen)
$$(3^2)^5$$ ist also $$3^{10}$$ und NICHT $$3^7$$!
Aufgaben zum Üben
Hier findest du Übungsaufgaben. Versuche sie zuerst ohne Taschenrechner zu lösen!
- $(4^2)^3 = ?$
- $(x^5)^2 = ?$
- $((2^2)^2)^2 = ?$
- $(10^3)^4 = ?$
Lösungen: $4^6 = 4096$, $x^{10}$, $2^8 = 256$, $10^{12}$
Häufig gestellte Fragen
Was mache ich bei negativen Exponenten in der Klammer?
Die Regel bleibt genau gleich! Wenn du z.B. $(2^{-3})^2$ hast, rechnest du $-3 \cdot 2 = -6$. Das Ergebnis ist $2^{-6}$.
Gilt das auch, wenn mehrere Faktoren in der Klammer stehen?
Ja! Wenn in der Klammer $(x^2 \cdot y^3)^4$ steht, musst du jeden Faktor potenzieren: $x^{2 \cdot 4} \cdot y^{3 \cdot 4} = x^8 \cdot y^{12}.
Fazit: Eine Potenz wird potenziert, indem du ihre Hochzahlen multiplizierst. Ein einfacher Trick, der dir in vielen Mathe-Klausuren helfen wird!