Das Rechnen mit Potenzen kann mühsam sein – es sei denn, du kennst die Potenzgesetze bei gleicher Basis! Mit dem Produktgesetz und dem Quotientengesetz kannst du dir lange Rechnungen sparen. In diesem Guide lernst du, wie du Potenzen mit der gleichen Basis ganz einfach multiplizierst und dividierst, und findest hilfreiche Potenzgesetze Aufgaben.
Das Produktgesetz: Potenzen multiplizieren
Wenn du zwei Potenzen multiplizierst, die die gleiche Basis haben, kannst du die Exponenten einfach addieren.
$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$
Beispiel:
$$2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$$
Warum ist das so? Ganz einfach: $2^3$ bedeutet $2 \cdot 2 \cdot 2$. Und $2^4$ bedeutet $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$. Wenn du alles hintereinander schreibst, hast du insgesamt sieben Zweier!
Das Quotientengesetz: Potenzen dividieren
Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis funktioniert es genau andersherum: Du musst die Exponenten subtrahieren.
$$a^m \div a^n = a^{m-n}$$
Beispiel:
$$5^6 \div 5^2 = 5^{6-2} = 5^4 = 625$$
Hier kürzen sich die Faktoren weg. Aus sechs Fünfern oben und zwei Fünfern unten bleiben nach dem Kürzen genau vier Fünfer übrig.
Typische Fehler vermeiden
Achtung: Diese Regeln gelten nur bei gleicher Basis und nur bei Multiplikation und Division. Bei Addition ($2^3 + 2^4$) darfst du die Exponenten NICHT addieren!
Aufgaben zum Üben
Hier findest du Übungsaufgaben. Versuche sie zuerst ohne Taschenrechner zu lösen!
- $3^2 \cdot 3^4 = ?$
- $x^5 \cdot x^3 = ?$
- $7^8 \div 7^6 = ?$
- $10^5 \div 10^4 = ?$
Lösungen: $3^6$ (oder $729$), $x^8$, $7^2$ (oder $49$), $10^1$ (oder $10$)
Häufig gestellte Fragen
Darf ich die Exponenten auch bei Plus und Minus zusammenfassen?
Nein! Das ist der häufigste Fehler. $2^2 + 2^3 = 4 + 8 = 12$. Würdest du die Exponenten addieren, käme $2^5 = 32$ heraus, was falsch ist.
Was mache ich, wenn keine Hochzahl da steht?
Jede Zahl ohne Exponent hat eigentlich eine unsichtbare 1. Also: $3 \cdot 3^4 = 3^1 \cdot 3^4 = 3^5$.
Fazit: Merke dir den Leitsatz 'Gleiche Basis bei Mal und Geteilt bedeutet Exponenten plus und minus rechnen'. Damit sparst du dir in der nächsten Klausur wertvolle Zeit!