Was passiert, wenn die Basis unterschiedlich ist, aber der Exponent gleich bleibt? Hier kommen weitere wichtige Potenzgesetze ins Spiel. Wenn du dieses Prinzip verstanden hast, kannst du Terme enorm vereinfachen. In diesem Guide zeige ich dir, wie du Basen bei gleichem Exponenten zusammenfassen kannst, inklusive Potenzgesetze Aufgaben.
Potenzen multiplizieren bei gleichem Exponenten
Wenn zwei Potenzen denselben Exponenten haben, darfst du die Basen in einer Klammer zusammenfassen und miteinander multiplizieren. Der Exponent bleibt dabei unverändert.
$$a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$$
Beispiel:
$$2^4 \cdot 3^4 = (2 \cdot 3)^4 = 6^4 = 1296$$
Statt also $16 \cdot 81$ mühsam im Kopf zu rechnen, rechnest du einfach $6^4$, was viel schneller geht!
Potenzen dividieren bei gleichem Exponenten
Das Gleiche gilt für die Division! Du kannst die Basen zuerst teilen und dann das Ergebnis potenzieren.
$$a^n \div b^n = (a \div b)^n$$
Beispiel:
$$6^3 \div 2^3 = (6 \div 2)^3 = 3^3 = 27$$
Wieder ein riesiger Vorteil: $216 \div 8$ ist im Kopf schwer, aber $3^3 = 27$ weißt du vielleicht auswendig.
Klammern auflösen
Das Gesetz funktioniert natürlich auch in die andere Richtung. Du kannst eine Klammer auflösen, indem du jeden Faktor in der Klammer mit dem Exponenten versiehst:
$$(4 \cdot 5)^3 = 4^3 \cdot 5^3$$
Aufgaben zum Üben
Hier findest du Übungsaufgaben. Versuche sie zuerst ohne Taschenrechner zu lösen!
- $4^3 \cdot 25^3 = ?$ (Tipp: Zusammenfassen!)
- $12^4 \div 3^4 = ?$
- $x^2 \cdot y^2 = ?$
- $10^5 \div 5^5 = ?$
Lösungen: $100^3 = 1.000.000$, $4^4 = 256$, $(x \cdot y)^2$, $2^5 = 32$
Häufig gestellte Fragen
Gilt das auch für Summen in der Klammer?
Nein! $(a + b)^n$ ist NICHT $a^n + b^n$. Denk an die binomischen Formeln: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$!
Müssen die Basen ganze Zahlen sein?
Nein, das Gesetz gilt für Brüche, Dezimalzahlen und Variablen ganz genauso.
Fazit: Gleicher Exponent bedeutet, dass du die Basen bei Multiplikation und Division zuerst verrechnen darfst. Das macht große Rechnungen oft unglaublich einfach!