Binomische Formeln anwenden

Mit den binomischen Formeln löst du Klammern wie $(x+5)^2$ in einem Schritt auf, ohne jedes Glied einzeln zu multiplizieren. Umgekehrt zerlegst du damit Terme wie $x^2 - 49$ wieder in Klammern. In der Schule begegnen sie dir meist ab der 8. Klasse, später brauchst du sie bei quadratischen Gleichungen immer wieder.

Es gibt drei Formeln: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ , $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ und $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ . Probiere sie direkt im interaktiven Flächenmodell aus:

Binomische Formeln anwenden

Wende die drei binomischen Formeln an: ausmultiplizieren, faktorisieren und geschickt im Kopf rechnen.

Die drei binomischen Formeln

Eine binomische Formel hilft dir, Klammern wie $(x+5)^2$ in einem Schritt aufzulösen – ohne jedes Glied einzeln zu multiplizieren.

Ein Binom ist eine Summe oder Differenz aus zwei Gliedern, zum Beispiel $\color{#3b82f6}{a} + \color{#e11d48}{b}$ . Es gibt drei Formeln, die du dir merken kannst.

1. binomische Formel (Plus):

$\boxed{(\color{#3b82f6}{a} + \color{#e11d48}{b})^2 = \color{#3b82f6}{a^2} + \color{#16a34a}{2ab} + \color{#e11d48}{b^2}}$

Warum? Ein Quadrat mit der Seitenlänge $a+b$ besteht aus einem Quadrat $a^2$ , einem Quadrat $b^2$ und zwei Rechtecken $a \cdot b$ .

Beispiel: $(\color{#3b82f6}{x} + \color{#e11d48}{5})^2 = \color{#3b82f6}{x^2} + \color{#16a34a}{2 \cdot x \cdot 5} + \color{#e11d48}{5^2} = x^2 + 10x + 25$

2. binomische Formel (Minus):

$\boxed{(\color{#3b82f6}{a} - \color{#e11d48}{b})^2 = \color{#3b82f6}{a^2} - \color{#16a34a}{2ab} + \color{#e11d48}{b^2}}$

Nur der Mittelterm ist negativ, das letzte Glied $b^2$ bleibt positiv.

Beispiel mit Koeffizient: $(\color{#3b82f6}{2x} - \color{#e11d48}{3})^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$

3. binomische Formel (Plus mal Minus):

$\boxed{(\color{#3b82f6}{a} + \color{#e11d48}{b})(\color{#3b82f6}{a} - \color{#e11d48}{b}) = \color{#3b82f6}{a^2} - \color{#e11d48}{b^2}}$

Der Mittelterm fällt weg: $-ab$ und $+ab$ heben sich auf.

Beispiel: $(x + 7)(x - 7) = x^2 - 49$

Kopfrechnen: $49 \cdot 51 = (50-1)(50+1) = 50^2 - 1^2 = 2500 - 1 = 2499$

Zusammenfassung – Die drei binomischen Formeln:

Formel	Ergebnis
1. $(a+b)^2$	$a^2 + 2ab + b^2$
2. $(a-b)^2$	$a^2 - 2ab + b^2$
3. $(a+b)(a-b)$	$a^2 - b^2$

Rückwärts (Faktorisieren): $x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$ , denn $2 \cdot 5 = 10$ und $5^2 = 25$ .

Achtung: $(a+b)^2$ ist nicht $a^2 + b^2$ – der Mittelterm $2ab$ darf nicht fehlen!

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Wie lauten die drei binomischen Formeln?

Alle drei Formeln gelten für beliebige Zahlen und Terme $a$ und $b$ :

$\boxed{(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$

$\boxed{(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}$

$\boxed{(a+b)(a-b) = a^2 - b^2}$

Formel	Aussehen links	Ergebnis	Merkhilfe
1. binomische Formel	$(a+b)^2$	$a^2 + 2ab + b^2$	alles Plus
2. binomische Formel	$(a-b)^2$	$a^2 - 2ab + b^2$	Mittelterm Minus, letztes Glied Plus
3. binomische Formel	$(a+b)(a-b)$	$a^2 - b^2$	kein Mittelterm

Der Teil $2ab$ heißt Mittelterm. Bei der ersten und zweiten Formel ist er das Glied, das Anfänger am häufigsten vergessen.

Warum stimmen die Formeln? Das Flächenmodell

Stell dir ein Quadrat mit der Seitenlänge $a+b$ vor. Seine Fläche ist $(a+b)^2$ . Du kannst es in vier Teile zerlegen: ein Quadrat mit $a^2$ , ein kleines Quadrat mit $b^2$ und zwei Rechtecke mit je $a \cdot b$ . Zusammen ergibt das $a^2 + 2ab + b^2$ .

Die Probe mit Zahlen: Für $a=5$ und $b=3$ ist $(5+3)^2 = 64$ und $5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 3 + 3^2 = 25 + 30 + 9 = 64$ .

Bei der dritten Formel schneidest du aus einem Quadrat der Seite $a$ die Ecke $b^2$ heraus. Die übrig gebliebene L-Form lässt sich zu einem Rechteck mit den Seiten $a+b$ und $a-b$ umlegen.

So wendest du die binomischen Formeln an

Erkenne die Form: Quadrat einer Summe, Quadrat einer Differenz oder Summe mal Differenz.
Lege $a$ und $b$ fest. Bei Termen wie $2x$ ist das ganze Glied $a$ , also $a = 2x$ .
Berechne $a^2$ , $2ab$ und $b^2$ einzeln und setze Klammern, wenn nötig.
Achte auf die Vorzeichen: Bei der 2. Formel ist nur der Mittelterm negativ.
Fasse zusammen und mache bei Unsicherheit eine Probe mit einer Zahl für $x$ .

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1: 1. Formel. Löse $(x+5)^2$ auf. Hier ist $a = x$ und $b = 5$ :

$(x+5)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25$

Beispiel 2: 2. Formel mit Koeffizient. Löse $(2x-3)^2$ auf. Hier ist $a = 2x$ und $b = 3$ :

$(2x-3)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$

Beispiel 3: 3. Formel. Löse $(3x+4)(3x-4)$ auf. Hier ist $a = 3x$ und $b = 4$ :

$(3x+4)(3x-4) = (3x)^2 - 4^2 = 9x^2 - 16$

Rückwärts: Binomische Formeln zum Faktorisieren

Oft ist ein ausmultiplizierter Term gegeben und du sollst die Klammer finden. Dann prüfst du drei Dinge: Ist das erste Glied ein Quadrat, ist das letzte Glied ein Quadrat und ist der Mittelterm genau $2ab$ ?

Beispiel: $x^2 + 10x + 25$ . Es ist $x^2 = x \cdot x$ und $25 = 5^2$ . Der Mittelterm $2 \cdot x \cdot 5 = 10x$ passt. Also gilt $x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$ .

Mit Minus: $4x^2 - 12x + 9$ ist $(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2$ , also $(2x-3)^2$ .

Differenz zweier Quadrate: $x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x+7)(x-7)$ .

Kopfrechnen mit binomischen Formeln

Mit den Formeln wird Kopfrechnen leichter. Du zerlegst eine Zahl in eine runde Zahl und eine kleine Zahl:

Aufgabe	Zerlegung	Rechnung	Ergebnis
$21^2$	$(20+1)^2$	$400 + 40 + 1$	$441$
$98^2$	$(100-2)^2$	$10\,000 - 400 + 4$	$9\,604$
$49 \cdot 51$	$(50-1)(50+1)$	$2\,500 - 1$	$2\,499$

Typische Fehler vermeiden

⚠️ $(a+b)^2$ ist nicht $a^2 + b^2$ . Das zeigt schon ein Zahlenbeispiel: $(3+4)^2 = 49$ , aber $3^2 + 4^2 = 25$ . Es fehlt der Mittelterm $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ .
Faktor 2 vergessen: Der Mittelterm ist $2ab$ , nicht $ab$ .
Koeffizienten nicht quadriert: Bei $(2x-3)^2$ ist $(2x)^2 = 4x^2$ , nicht $2x^2$ .
Vorzeichen am Ende: Bei $(x-5)^2$ ist das letzte Glied $+25$ , denn $(-5)^2 = 25$ .
Mittelterm bei der 3. Formel: Er fällt weg, weil $-ab$ und $+ab$ sich aufheben.

Übungsaufgaben

Löse auf: $(x+4)^2$
Löse auf: $(2x-5)^2$
Löse auf: $(3x+2)(3x-2)$
Faktorisiere: $x^2 - 16x + 64$
Rechne im Kopf: $31^2$

Lösungen:

$x^2 + 8x + 16$
$4x^2 - 20x + 25$
$9x^2 - 4$
$(x-8)^2$
$(30+1)^2 = 900 + 60 + 1 = 961$

Fazit

Die drei binomischen Formeln sparen dir Rechenzeit und Fehler, wenn du zuerst die Form erkennst und dann $a$ , $b$ und den Mittelterm sauber einsetzt. Wenn dir das Auflösen von Klammern noch schwerfällt, wiederhole Mehrschritt-Gleichungen mit Klammern. Für das Quadrieren von Termen hilft dir die Potenzschreibweise. Wenn du gezielt Unterstützung vor der Klassenarbeit möchtest, begleitet dich eine Lehrkraft in der Online-Nachhilfe Mathematik für die Realschule.

Häufige Fragen

Wann benutze ich welche binomische Formel?

Schau dir die Klammer an. Steht eine Summe oder Differenz im Quadrat, nimmst du die 1. oder 2. Formel. Stehen zwei Klammern mit denselben Gliedern, aber verschiedenen Vorzeichen, nimmst du die 3. Formel.

Warum hat die 3. binomische Formel keinen Mittelterm?

Beim Ausmultiplizieren entsteht $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ab - b^2$ . Die beiden mittleren Glieder heben sich auf.

Gibt es auch eine Formel für $(a+b)^3$ ?

Ja, aber sie gehört nicht zu den drei klassischen binomischen Formeln: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ . In der Schule brauchst du sie selten.

Wofür brauche ich binomische Formeln später?

Du nutzt sie beim Lösen quadratischer Gleichungen, beim Umformen in die Scheitelpunktform und beim Kürzen von Bruchtermen.

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Binomische Formeln: Anwenden, Ausmultiplizieren und Faktorisieren