Exponentielles Wachstum berechnen: Formel, Wachstumsfaktor und Halbwertszeit

Ein Sparkonto mit Zinseszins, eine wachsende Bakterienkultur oder ein Auto, das jedes Jahr an Wert verliert: Hinter all dem steckt dieselbe Rechnung. Hast du das Prinzip einmal verstanden, löst du solche Aufgaben mit einer einzigen Formel.

Kurz gesagt: Exponentielles Wachstum bedeutet, dass ein Bestand in jedem Zeitschritt mit demselben Faktor $b$ multipliziert wird. Es gilt $f(t) = a \cdot b^{\,t}$ mit dem Startwert $a$; bei einer Zunahme um $p\,\%$ ist $b = 1 + \frac{p}{100}$, bei einer Abnahme $b = 1 - \frac{p}{100}$.

Was ist der Unterschied zwischen linearem und exponentiellem Wachstum?

Beim linearen Wachstum kommt in jedem Schritt derselbe Betrag dazu, beim exponentiellen Wachstum wird in jedem Schritt mit demselben Faktor multipliziert. Am Anfang sehen beide oft ähnlich aus – nach einigen Schritten zieht das exponentielle Wachstum aber deutlich davon.

So erkennst du in einer Wertetabelle, welche Art vorliegt:

• Gleiche Differenzen zwischen aufeinanderfolgenden Werten → linear
• Gleiche Quotienten (Wert geteilt durch Vorgänger) → exponentiell

Im interaktiven Graphen oben kannst du die gestrichelte lineare Vergleichsgerade einblenden und zusehen, wie die Exponentialkurve sie überholt.

Wie lautet die Formel für exponentielles Wachstum?

Die Formel für exponentielles Wachstum lautet:

$\boxed{f(t) = a \cdot b^{\,t}}$

• $a$ ist der Startwert, also der Bestand zum Zeitpunkt $t = 0$.
• $b$ ist der Wachstumsfaktor pro Zeitschritt.
• $t$ ist die Anzahl der Zeitschritte – je nach Aufgabe Jahre, Stunden oder Wochen.

Ist $b > 1$, wächst der Bestand. Liegt $b$ zwischen 0 und 1, nimmt er ab – man spricht dann von exponentiellem Zerfall oder exponentieller Abnahme.

Wie berechnet man den Wachstumsfaktor?

Den Wachstumsfaktor berechnest du aus dem Prozentsatz $p$, um den sich der Bestand pro Schritt ändert. Du gehst von 100 % aus und addierst bzw. subtrahierst die Änderung:

$\text{Zunahme: } b = 1 + \frac{p}{100} \qquad \text{Abnahme: } b = 1 - \frac{p}{100}$

⚠️ Falle: Eine Abnahme um 15 % bedeutet nicht $b = 0{,}15$. Es bleiben 85 % übrig, also ist $b = 0{,}85$.

Umgekehrt liest du aus einem Funktionsterm direkt den Prozentsatz ab: Bei $f(t) = 450 \cdot 0{,}88^{\,t}$ ist $b = 0{,}88 = 1 - 0{,}12$, der Bestand sinkt also um 12 % pro Schritt.

Schritt für Schritt: So löst du Wachstumsaufgaben

1. Startwert $a$ aus dem Text heraussuchen (Anfangskapital, Anfangsbestand, Neupreis).
2. Prozentsatz und Richtung bestimmen: Zunahme oder Abnahme?
3. Wachstumsfaktor $b$ berechnen.
4. Anzahl der Zeitschritte $t$ bestimmen – Einheit beachten.
5. In $f(t) = a \cdot b^{\,t}$ einsetzen und ausrechnen.
6. Plausibilität prüfen: Bei Wachstum muss das Ergebnis größer als $a$ sein, bei Abnahme kleiner.

Beispiel 1: Zinseszins

Lina legt 2.000 € zu 3 % Zinsen pro Jahr an. Die Zinsen werden jedes Jahr mitverzinst. Wie viel Geld hat sie nach 5 Jahren?

$K_5 = 2000 \cdot 1{,}03^{5} \approx 2000 \cdot 1{,}1593 \approx 2318{,}55\,\text{€}$

Die Zinseszinsformel $K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$ ist also nichts anderes als exponentielles Wachstum. Wie du einfache Zinsen ohne Zinseszins berechnest, zeigt unser Lernpost zur Zinsrechnung mit Kapital, Zinssatz und Zinsen.

Beispiel 2: Wertverlust

Ein Neuwagen kostet 20.000 € und verliert jedes Jahr 15 % seines Werts. Was ist er nach 3 Jahren noch wert?

$f(3) = 20\,000 \cdot 0{,}85^{3} = 20\,000 \cdot 0{,}614125 = 12\,282{,}50\,\text{€}$

Beispiel 3: Startwert zurückrechnen

Nach 3 Jahren mit 10 % Wachstum pro Jahr sind 1.331 € auf dem Konto. Wie hoch war das Startkapital? Hier stellst du die Formel nach $a$ um und teilst durch $b^{\,t}$:

$a = \frac{f(t)}{b^{\,t}} = \frac{1331}{1{,}1^{3}} = \frac{1331}{1{,}331} = 1000\,\text{€}$

Rechnen mit Potenzen ist hier zentral. Wenn du dabei unsicher bist, wiederhole die Potenzschreibweise.

Was ist die Halbwertszeit?

Die Halbwertszeit $T_{1/2}$ ist die Zeit, nach der nur noch die Hälfte eines Bestands übrig ist. Sie ist beim exponentiellen Zerfall immer gleich lang – egal, wie viel am Anfang vorhanden war. Nach $k$ Halbwertszeiten ist noch der Anteil $\left(\frac{1}{2}\right)^k$ übrig.

Beispiel: Ein radioaktiver Stoff hat eine Halbwertszeit von 5 Jahren. Zu Beginn sind 80 g vorhanden. Nach 15 Jahren sind $15 : 5 = 3$ Halbwertszeiten vergangen:

$80 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{3} = 80 \cdot \tfrac{1}{8} = 10\,\text{g}$

Das Gegenstück beim Wachstum ist die Verdopplungszeit. Ohne Logarithmus findest du sie durch Probieren: Bei 7 % Wachstum ist $1{,}07^{10} \approx 1{,}967$ und $1{,}07^{11} \approx 2{,}105$. Der Betrag hat sich also nach 11 vollen Jahren erstmals verdoppelt. Ab der Oberstufe rechnest du das mit dem Logarithmus exakt aus.

Typische Fehler beim exponentiellen Wachstum

• Abnahme falsch umgerechnet: $-15\,\%$ wird zu $b = 0{,}15$ statt $0{,}85$.
• Prozentsatz statt Faktor eingesetzt: $2000 \cdot 3^5$ statt $2000 \cdot 1{,}03^5$.
• Linear gerechnet: Jedes Jahr 3 % vom Startwert addiert statt vom aktuellen Wert – das ist einfache Verzinsung, nicht exponentiell.
• Zu früh gerundet: Den Faktor $1{,}1593$ auf $1{,}16$ zu runden, verfälscht das Ergebnis um mehrere Euro. Runde erst am Ende.
• Zeiteinheit übersehen: Ist die Wachstumsrate pro Stunde angegeben, die Frage aber in Minuten, musst du umrechnen.

Übungsaufgaben mit Lösungen

1. 3.000 € werden 6 Jahre lang zu 2 % Zinseszins angelegt. Wie hoch ist das Endkapital?
2. Gegeben ist $f(t) = 450 \cdot 0{,}88^{\,t}$. Um wie viel Prozent ändert sich der Bestand pro Schritt?
3. Eine Bakterienkultur mit 5.000 Bakterien wächst pro Stunde um 30 %. Wie viele Bakterien sind es nach 4 Stunden?
4. Ein Medikament hat eine Halbwertszeit von 8 Stunden. Wie viel bleibt von 120 mg nach 24 Stunden übrig?
5. Ist die Tabelle 40, 60, 90, 135 linear oder exponentiell?

Lösungen:

1. $3000 \cdot 1{,}02^{6} \approx 3378{,}49\,\text{€}$
2. $b = 0{,}88 = 1 - 0{,}12$ → Abnahme um 12 % pro Schritt
3. $5000 \cdot 1{,}3^{4} = 5000 \cdot 2{,}8561 \approx 14\,280$ Bakterien
4. $24 : 8 = 3$ Halbwertszeiten → $120 \cdot \frac{1}{8} = 15\,\text{mg}$
5. Exponentiell: Die Quotienten sind immer $1{,}5$ ($60 : 40 = 90 : 60 = 135 : 90 = 1{,}5$), die Differenzen dagegen nicht.

Fazit

Exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall folgen immer der Formel $f(t) = a \cdot b^{\,t}$. Entscheidend ist der richtige Wachstumsfaktor: $1 + \frac{p}{100}$ bei Zunahme, $1 - \frac{p}{100}$ bei Abnahme. Mit Startwert, Faktor und Zeitschritten lösen sich Zinseszins-, Bevölkerungs- und Zerfallsaufgaben nach demselben Schema. Übe am besten mit der interaktiven Lektion, bis du Faktor und Prozentsatz ohne Nachdenken ineinander umrechnen kannst. Und wenn es in der nächsten Klausur um Exponentialfunktionen geht, unterstützt dich eine Lehrkraft in der Online-Nachhilfe Mathematik für die Realschule gezielt bei deinen Lücken.

Häufige Fragen zum exponentiellen Wachstum

Woran erkenne ich exponentielles Wachstum in einer Textaufgabe? Typische Formulierungen sind „wächst jährlich um … %“, „nimmt pro Stunde um … % ab“ oder „verdoppelt sich alle …“. Entscheidend ist, dass sich die Änderung immer auf den aktuellen Bestand bezieht.

Was bedeutet ein Wachstumsfaktor von 1? Bei $b = 1$ bleibt der Bestand gleich, denn $a \cdot 1^{\,t} = a$. Es gibt dann weder Wachstum noch Abnahme.

Ist Zinseszins exponentielles Wachstum? Ja. Weil die Zinsen jedes Jahr mitverzinst werden, wird das Kapital jedes Jahr mit demselben Faktor $1 + \frac{p}{100}$ multipliziert.

In welcher Klasse kommt exponentielles Wachstum dran? In den meisten Bundesländern in Klasse 9 oder 10, oft im Zusammenhang mit Potenzen und Zinseszins. In der Oberstufe kommen Exponentialfunktionen mit der Basis $e$ und der Logarithmus dazu.

Wie berechne ich die Verdopplungszeit ohne Logarithmus? Du probierst mit dem Taschenrechner $b^1, b^2, b^3, \dots$ aus, bis das Ergebnis mindestens 2 ist. Die zugehörige Hochzahl ist die Verdopplungszeit in ganzen Zeitschritten.