Dreisatz rechnen: Proportional und antiproportional einfach erklärt

Der Dreisatz hilft dir, wenn du von einer bekannten Angabe auf eine andere schließen musst: Wenn 5 Hefte 3,75 € kosten, was kosten dann 8 Hefte? Du rechnest dazu in drei Schritten, ohne eine Formel auswendig zu lernen. In der Schule lernst du ihn meist in der 6. und 7. Klasse.

Die Kernregel: Bei einer proportionalen Zuordnung rechnest du erst durch die gegebene Menge und dann mal die gesuchte Menge. Bei einer antiproportionalen Zuordnung rechnest du erst mal und dann durch. Teste beides im interaktiven Dreisatz-Rechner:

Was ist der Dreisatz?

Beim Dreisatz schreibst du die Aufgabe in drei Zeilen untereinander. In der ersten Zeile steht, was gegeben ist. In der zweiten rechnest du auf eine Einheit um, zum Beispiel auf 1 Heft oder 1 Arbeiter. In der dritten Zeile rechnest du auf die gesuchte Menge.

$\boxed{\text{proportional: } y_2 = \frac{y_1}{x_1} \cdot x_2}$

$\boxed{\text{antiproportional: } y_2 = \frac{y_1 \cdot x_1}{x_2}}$

Proportional oder antiproportional? So erkennst du es

Bevor du rechnest, musst du die Art der Zuordnung bestimmen. Stell dir vor, du verdoppelst die erste Größe.

Dreisatz proportional: Schritt für Schritt

1. Schreibe die gegebene Zeile auf: Menge und zugehöriger Wert.
2. Rechne auf 1 um: Teile beide Seiten durch die Menge.
3. Rechne auf die gesuchte Menge hoch: Multipliziere beide Seiten damit.
4. Schreibe einen Antwortsatz mit Einheit.

Beispiel 1: 5 Hefte kosten 3,75 €. Was kosten 8 Hefte?

$\begin{aligned} 5 \text{ Hefte} &\to 3{,}75\,\text{€} \\ 1 \text{ Heft} &\to 3{,}75 : 5 = 0{,}75\,\text{€} \\ 8 \text{ Hefte} &\to 0{,}75 \cdot 8 = 6{,}00\,\text{€} \end{aligned}$

8 Hefte kosten 6,00 €.

Beispiel 2: Ein Auto verbraucht auf 150 km genau 9 Liter. Wie viel Benzin braucht es für 400 km?

$\begin{aligned} 150 \text{ km} &\to 9 \text{ l} \\ 1 \text{ km} &\to 9 : 150 = 0{,}06 \text{ l} \\ 400 \text{ km} &\to 0{,}06 \cdot 400 = 24 \text{ l} \end{aligned}$

Für 400 km braucht das Auto 24 Liter.

Dreisatz antiproportional: Schritt für Schritt

Hier läuft die zweite Zeile andersherum. Je mehr Arbeiter, desto weniger Tage. Deshalb rechnest du auf der rechten Seite mit der Gegenoperation.

Beispiel 3: 6 Arbeiter brauchen 8 Tage. Wie lange brauchen 4 Arbeiter?

$\begin{aligned} 6 \text{ Arbeiter} &\to 8 \text{ Tage} \\ 1 \text{ Arbeiter} &\to 8 \cdot 6 = 48 \text{ Tage} \\ 4 \text{ Arbeiter} &\to 48 : 4 = 12 \text{ Tage} \end{aligned}$

4 Arbeiter brauchen 12 Tage. Die Probe zeigt es: $6 \cdot 8 = 48$ und $4 \cdot 12 = 48$. Das Produkt bleibt gleich.

Beispiel 4: Für 4 Personen braucht man 300 g Mehl. Wie viel für 10 Personen?

$\begin{aligned} 4 \text{ Personen} &\to 300 \text{ g} \\ 1 \text{ Person} &\to 300 : 4 = 75 \text{ g} \\ 10 \text{ Personen} &\to 75 \cdot 10 = 750 \text{ g} \end{aligned}$

Das ist wieder proportional: Mehr Personen brauchen mehr Mehl. Für 10 Personen sind es 750 g.

Typische Fehler vermeiden

• ⚠️ Zuordnung falsch bestimmt. Mehr Arbeiter brauchen nicht mehr, sondern weniger Zeit. Frag dich immer zuerst: Verdoppelt oder halbiert sich die zweite Größe?
• Operation vertauscht. Proportional: erst teilen, dann malnehmen. Antiproportional: erst malnehmen, dann teilen.
• Einheit vergessen. Schreib die Einheit in jede Zeile und in den Antwortsatz.
• Nicht alles ist proportional. Ein Taxi mit 2 € Grundgebühr und 2 € pro km kostet für 5 km 12 €, für 10 km aber 22 € und nicht 24 €. Hier funktioniert der Dreisatz nicht.
• Zu früh runden. Rechne mit dem genauen Zwischenwert, zum Beispiel $0{,}06$, und runde erst am Ende.

Übungsaufgaben

1. 6 Brötchen kosten 2,10 €. Was kosten 10 Brötchen?
2. Ein Auto verbraucht auf 200 km genau 12 Liter. Wie viel auf 350 km?
3. 5 Maler brauchen 12 Tage. Wie lange brauchen 3 Maler?
4. Zwei gleich starke Pumpen leeren ein Becken in 9 Stunden. Wie lange brauchen 6 Pumpen?
5. Für 6 Personen braucht man 450 g Nudeln. Wie viel für 4 Personen?

Lösungen:

1. $2{,}10 : 6 = 0{,}35$ und $0{,}35 \cdot 10 = 3{,}50\,\text{€}$
2. $12 : 200 = 0{,}06$ und $0{,}06 \cdot 350 = 21$ Liter
3. $12 \cdot 5 = 60$ und $60 : 3 = 20$ Tage
4. $9 \cdot 2 = 18$ und $18 : 6 = 3$ Stunden
5. $450 : 6 = 75$ und $75 \cdot 4 = 300$ g

Fazit

Der Dreisatz funktioniert immer nach demselben Muster: Zuordnung bestimmen, auf 1 umrechnen, auf die gesuchte Menge hochrechnen. Mit dem Dreisatz löst du auch viele Aufgaben der Prozentrechnung, wie in Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert gezeigt. Wie du aus Sachtexten die richtige Rechnung aufstellst, übst du in Textaufgaben in Gleichungen übersetzen. Und wenn du zu Hause nicht weiterkommst, hilft dir eine Lehrkraft in der Online-Nachhilfe Mathematik für die Realschule.

Häufige Fragen

Warum heißt der Dreisatz Dreisatz?

Die Aufgabe besteht aus drei Sätzen: dem Bedingungssatz mit den bekannten Werten, dem Zwischensatz mit dem Wert für eine Einheit und dem Fragesatz mit der gesuchten Größe.

Muss ich immer auf 1 umrechnen?

Nein. Wenn die gesuchte Menge ein Vielfaches oder ein Teil der gegebenen ist, geht es kürzer. Wenn 5 Hefte 3,75 € kosten, kosten 10 Hefte doppelt so viel, also 7,50 €.

Wie erkenne ich eine antiproportionale Zuordnung?

Das Produkt beider Größen bleibt gleich. Bei 6 Arbeitern und 8 Tagen ist es $6 \cdot 8 = 48$, bei 4 Arbeitern und 12 Tagen ebenfalls $4 \cdot 12 = 48$.

Kann ich den Dreisatz auch mit einer Formel rechnen?

Ja. Proportional gilt $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}$, antiproportional gilt $x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2$. Du stellst die Gleichung nach der gesuchten Größe um.

Was ist der Unterschied zwischen proportional und linear?

Proportionale Zuordnungen sind Sonderfälle linearer Funktionen. Ihr Graph ist eine Gerade, die immer durch den Ursprung geht.