Strahlensätze: Formeln, V- und X-Figur einfach erklärt

Mit den Strahlensätzen berechnest du Strecken, die du nicht direkt messen kannst, zum Beispiel die Höhe eines Baums oder die Breite eines Flusses. Das klappt immer dann, wenn zwei Geraden von parallelen Linien geschnitten werden. Hinter den Sätzen steckt nur eine Idee: Gleiche Form bedeutet gleiche Verhältnisse.

Kurz gesagt: Der 1. Strahlensatz vergleicht Strecken auf den Strahlen, $\frac{SA'}{SA} = \frac{SB'}{SB}$. Der 2. Strahlensatz bezieht die Parallelen ein, $\frac{A'B'}{AB} = \frac{SA'}{SA}$. Beide gelten in der V-Figur und in der X-Figur.

Was ist die V-Figur und was die X-Figur?

Zwei Strahlen starten im selben Punkt $S$, dem Zentrum. Zwei parallele Geraden schneiden beide Strahlen. Die erste Parallele trifft die Strahlen in $A$ und $B$, die zweite in $A'$ und $B'$.

• V-Figur: Beide Parallelen liegen auf derselben Seite von $S$. Die Figur sieht aus wie ein V (oder eine Spitze mit Querbalken).
• X-Figur: Die Parallelen liegen auf verschiedenen Seiten von $S$. Die beiden Dreiecke berühren sich in $S$ wie bei einem Schmetterling.

Das zweite Dreieck ist eine vergrößerte oder verkleinerte Kopie des ersten. Der Streckfaktor $k = \frac{SA'}{SA}$ gilt für alle zusammengehörigen Strecken. Im interaktiven Tool oben siehst du das live: Du schiebst die zweite Parallele, und die Verhältnisse bleiben gleich.

Wie lauten der 1. und der 2. Strahlensatz?

1. Strahlensatz: Strecken auf demselben Strahl verhalten sich wie die passenden Strecken auf dem anderen Strahl.

$\boxed{\frac{SA'}{SA} = \frac{SB'}{SB}}$

2. Strahlensatz: Die Parallelstrecken verhalten sich wie die zugehörigen Strecken ab $S$.

$\boxed{\frac{A'B'}{AB} = \frac{SA'}{SA}}$

Alle drei Verhältnisse sind gleich dem Streckfaktor $k$. Du kannst die Gleichungen auch umdrehen (Kehrbruch auf beiden Seiten) oder über Kreuz multiplizieren, solange du auf beiden Seiten dasselbe tust.

Welcher Satz gilt für welche Strecke?

Entscheidend ist, was gesucht ist. Die Tabelle hilft dir bei der Wahl.

Wie rechnest du mit den Strahlensätzen? Schritt für Schritt

1. Skizze zeichnen und Zentrum $S$, die Parallelen und alle Punkte beschriften.
2. Gegebene Strecken eintragen und die gesuchte Strecke mit $x$ markieren.
3. Satz wählen: Liegt $x$ auf einem Strahl, nimmst du den 1. Strahlensatz. Ist $x$ eine Parallelstrecke, nimmst du den 2.
4. Verhältnisgleichung aufstellen. Prüfe, dass im Zähler beider Brüche die Strecken der zweiten Parallele stehen und im Nenner die der ersten.
5. Nach $x$ umstellen und ausrechnen. Wie das geht, übst du in Gleichungen mit zwei Schritten.
6. Einheit und Antwortsatz nicht vergessen.

Beispiel 1: 1. Strahlensatz in der V-Figur

Gegeben: $SA = 3\,\text{cm}$, $SA' = 7{,}5\,\text{cm}$, $SB = 4\,\text{cm}$. Gesucht ist $x = SB'$.

$\frac{x}{4} = \frac{7{,}5}{3} \quad\Rightarrow\quad x = 4 \cdot \frac{7{,}5}{3} = 4 \cdot 2{,}5 = 10\,\text{cm}$

Beispiel 2: 2. Strahlensatz

Gegeben: $SA = 5\,\text{cm}$, $SA' = 8\,\text{cm}$, $AB = 6\,\text{cm}$. Gesucht ist $x = A'B'$.

$\frac{x}{6} = \frac{8}{5} \quad\Rightarrow\quad x = 6 \cdot \frac{8}{5} = 9{,}6\,\text{cm}$

Beispiel 3: X-Figur

Gegeben: $SA = 2\,\text{cm}$, $SA' = 5\,\text{cm}$, $SB = 3\,\text{cm}$. Die Parallelen liegen auf verschiedenen Seiten von $S$. Die Formel bleibt gleich:

$\frac{x}{3} = \frac{5}{2} \quad\Rightarrow\quad x = 3 \cdot \frac{5}{2} = 7{,}5\,\text{cm}$

Wie berechnest du eine Höhe mit den Strahlensätzen?

Stell dir vor, ein Stab ($1{,}80\,\text{m}$ hoch) wirft einen Schatten von $2{,}40\,\text{m}$. Im selben Moment wirft ein Baum einen Schatten von $14\,\text{m}$. Stab und Baum stehen beide senkrecht und sind damit parallel. Das Zentrum $S$ ist die Spitze des Schattens.

$\frac{\text{Baumhöhe}}{1{,}80} = \frac{14}{2{,}40} \quad\Rightarrow\quad \text{Baumhöhe} = 1{,}80 \cdot \frac{14}{2{,}40} = 10{,}5\,\text{m}$

Der Baum ist $10{,}5\,\text{m}$ hoch. Dasselbe Prinzip funktioniert bei Flussbreiten, bei Turmhöhen und bei Schattenbildern.

Wann gilt die Umkehrung?

Die Umkehrung des 1. Strahlensatzes prüft, ob zwei Geraden parallel sind: Gilt $\frac{SA'}{SA} = \frac{SB'}{SB}$, dann sind $AB$ und $A'B'$ parallel.

Beispiel: $SA = 2\,\text{cm}$, $SA' = 5\,\text{cm}$, $SB = 3\,\text{cm}$, $SB' = 7{,}5\,\text{cm}$. Es ist $\frac{5}{2} = 2{,}5$ und $\frac{7{,}5}{3} = 2{,}5$. Die Verhältnisse sind gleich, also sind die Strecken parallel.

Beim 2. Strahlensatz gilt das nicht: Aus dem Verhältnis der Parallelstrecken allein folgt keine Parallelität.

Welche Fehler passieren oft?

• ⚠️ Teilstrecke statt Strecke ab $S$: Der 2. Strahlensatz funktioniert nur mit Strecken, die in $S$ beginnen. Ist $SA = 4\,\text{cm}$ und $AA' = 2\,\text{cm}$ gegeben, rechnest du mit $SA' = 6\,\text{cm}$, nicht mit $2\,\text{cm}$.
• Zähler und Nenner vertauscht: Steht oben links $SA'$, muss oben rechts $SB'$ stehen. Gleiche Reihenfolge auf beiden Seiten.
• Falsche Strecken gemischt: Im 1. Strahlensatz stehen nur Strahlstrecken, im Verhältnis zum 2. nur eine Parallelstrecke mit ihrer Strahlstrecke.
• Parallelität nicht geprüft: Die Sätze gelten nur, wenn $AB \parallel A'B'$ ist.

Beispiel für die Falle: $SA = 4\,\text{cm}$, $AA' = 2\,\text{cm}$, $AB = 5\,\text{cm}$. Dann ist $SA' = 6\,\text{cm}$ und $A'B' = 5 \cdot \frac{6}{4} = 7{,}5\,\text{cm}$. Wer fälschlich $\frac{2}{4}$ nimmt, erhält $2{,}5\,\text{cm}$.

Übungsaufgaben mit Lösungen

Rechne zuerst selbst. Mehr Aufgaben mit sofortiger Kontrolle findest du in der Übung oben.

1. V-Figur: $SA = 2\,\text{cm}$, $SA' = 6\,\text{cm}$, $SB = 3{,}5\,\text{cm}$. Berechne $SB'$.
2. V-Figur: $SA = 4\,\text{cm}$, $SA' = 10\,\text{cm}$, $AB = 3\,\text{cm}$. Berechne $A'B'$.
3. Teilstrecke: $SA = 3\,\text{cm}$, $AA' = 4{,}5\,\text{cm}$, $SB = 2\,\text{cm}$. Berechne $SB'$.
4. X-Figur: $SA = 6\,\text{cm}$, $SA' = 4\,\text{cm}$, $A'B' = 5\,\text{cm}$. Berechne $AB$.
5. Ein Stab ($1{,}5\,\text{m}$) wirft einen Schatten von $1{,}2\,\text{m}$, ein Baum im selben Moment $9\,\text{m}$. Wie hoch ist der Baum?

Lösungen:

1. $SB' = 3{,}5 \cdot \frac{6}{2} = 10{,}5\,\text{cm}$
2. $A'B' = 3 \cdot \frac{10}{4} = 7{,}5\,\text{cm}$
3. $SA' = 3 + 4{,}5 = 7{,}5\,\text{cm}$, dann $SB' = 2 \cdot \frac{7{,}5}{3} = 5\,\text{cm}$
4. $\frac{5}{AB} = \frac{4}{6}$, also $AB = 5 \cdot \frac{6}{4} = 7{,}5\,\text{cm}$
5. $\text{Höhe} = 1{,}5 \cdot \frac{9}{1{,}2} = 11{,}25\,\text{m}$

Fazit

Die Strahlensätze lösen sich nach einem festen Muster: Skizze zeichnen, gesuchte Strecke markieren, Satz wählen, Verhältnis aufstellen, nach $x$ umstellen. Achte darauf, dass du nur Strecken ab $S$ verwendest und Teilstrecken vorher ergänzt. Wenn dir das Rechnen mit Brüchen noch Mühe macht, hilft dir Brüche multiplizieren. Und wenn du vor einer Arbeit sicher werden willst, unterstützt dich eine Lehrkraft in der Online-Nachhilfe Mathematik für das Gymnasium oder der Online-Nachhilfe Mathematik für die Realschule. Tipps für die Klassenarbeit findest du in der Checkliste Mathe-Klassenarbeit vorbereiten.

Häufige Fragen zu den Strahlensätzen

In welcher Klasse lernt man die Strahlensätze? Die Strahlensätze stehen in den meisten Bundesländern in Klasse 9 oder 10 auf dem Lehrplan, oft nach dem Thema Ähnlichkeit und vor der Trigonometrie.

Was ist der Unterschied zwischen dem 1. und dem 2. Strahlensatz? Der 1. Strahlensatz vergleicht nur Strecken auf den Strahlen. Der 2. Strahlensatz bezieht eine Parallelstrecke ein und vergleicht sie mit der zugehörigen Strecke ab $S$.

Gelten die Formeln auch in der X-Figur? Ja, die Formeln sind identisch. In der X-Figur liegen $SA$ und $SA'$ auf entgegengesetzten Seiten von $S$, beide beginnen aber in $S$.

Warum muss man Teilstrecken vorher ergänzen? Die Verhältnisse beziehen sich immer auf Strecken ab $S$. Ein Abschnitt wie $AA'$ beginnt nicht in $S$ und passt deshalb nicht in die Verhältnisgleichung. Mit $SA' = SA + AA'$ stellst du die richtige Strecke her.

Wie erkenne ich, welche Strecken zusammengehören? Zeichne die Skizze mit $S$, den Parallelen und allen Punktnamen. Strecken auf demselben Strahl bilden jeweils einen Bruch, und die Parallelen gehören immer zu den Strecken ab $S$ an denselben Punkten $A$ und $A'$.