Sinus, Kosinus, Tangens berechnen: Seiten und Winkel im rechtwinkligen Dreieck

Mit dem Satz des Pythagoras kannst du eine Seite berechnen, wenn du zwei Seiten kennst. Sobald aber ein Winkel im Spiel ist, brauchst du Sinus, Kosinus und Tangens. Die gute Nachricht: Es sind nur drei Formeln, und mit einem festen Ablauf weißt du immer, welche du nimmst.

Kurz gesagt: Im rechtwinkligen Dreieck gilt $\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$, $\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$ und $\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$. Du wählst die Funktion, in der genau die gegebene und die gesuchte Größe vorkommen.

Wie heißen die Seiten im rechtwinkligen Dreieck?

Die Hypotenuse ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel und immer die längste Seite. Die beiden kürzeren Seiten heißen Katheten. Welche Kathete „Gegenkathete“ und welche „Ankathete“ ist, hängt davon ab, von welchem Winkel du ausgehst – dem sogenannten Bezugswinkel.

• Die Gegenkathete (GK) liegt dem Bezugswinkel gegenüber.
• Die Ankathete (AK) liegt direkt am Bezugswinkel an (und ist nicht die Hypotenuse).

In der üblichen Beschriftung liegt der rechte Winkel bei $C$. Dann ist für $\alpha$ (bei $A$) die Seite $a$ die Gegenkathete und $b$ die Ankathete. Für $\beta$ (bei $B$) ist es genau umgekehrt: $b$ ist die Gegenkathete, $a$ die Ankathete. Die Hypotenuse $c$ bleibt immer die Hypotenuse.

⚠️ Falle: Viele markieren Gegen- und Ankathete einmal und behalten sie, obwohl die Aufgabe nach dem anderen Winkel fragt. Markiere den Bezugswinkel deshalb bei jeder Aufgabe neu.

Welche Formeln gelten für Sinus, Kosinus und Tangens?

Sinus, Kosinus und Tangens sind Seitenverhältnisse. Für einen festen Winkel sind sie immer gleich – egal, wie groß das Dreieck ist. Genau das kannst du im interaktiven Dreieck oben ausprobieren: Ändere nur die Hypotenuse, und die Verhältnisse bleiben stehen.

$\boxed{\sin(\alpha) = \frac{\text{GK}}{\text{Hyp}}} \qquad \boxed{\cos(\alpha) = \frac{\text{AK}}{\text{Hyp}}} \qquad \boxed{\tan(\alpha) = \frac{\text{GK}}{\text{AK}}}$

Als Merkhilfe hat sich „GAGA – HühnerHof – AG“ bewährt: Die Buchstaben G, A, G stehen oben (Zähler), H, H, A unten (Nenner) – der Reihe nach für sin, cos und tan.

Wie berechnet man eine Seite mit Sinus, Kosinus oder Tangens?

Eine Seite berechnest du, indem du die passende Formel aufstellst und nach der gesuchten Seite umstellst. Diese fünf Schritte funktionieren bei jeder Aufgabe:

1. Rechten Winkel finden – gegenüber liegt die Hypotenuse.
2. Bezugswinkel markieren – dann Gegenkathete und Ankathete bestimmen.
3. Gegebene und gesuchte Seite einkreisen und die Funktion aus der Tabelle wählen.
4. Gleichung aufstellen und nach der Unbekannten umstellen.
5. Ausrechnen – Taschenrechner im Modus DEG (Grad), sonst stimmt nichts.

Beispiel 1: Gegenkathete gesucht

Gegeben sind $\alpha = 35^\circ$ und die Hypotenuse $c = 8\,\text{cm}$. Gesucht ist die Gegenkathete $a$. Gegenkathete und Hypotenuse sind beteiligt, also nimmst du den Sinus:

$\sin(35^\circ) = \frac{a}{8} \quad \Rightarrow \quad a = 8 \cdot \sin(35^\circ) \approx 8 \cdot 0{,}574 \approx 4{,}59\,\text{cm}$

Beispiel 2: Die gesuchte Seite steht im Nenner

Gegeben sind $\alpha = 40^\circ$ und die Gegenkathete $a = 6\,\text{cm}$. Gesucht ist die Hypotenuse $c$. Wieder Sinus – aber jetzt steht die Unbekannte unten:

$\sin(40^\circ) = \frac{6}{c} \quad \Rightarrow \quad c = \frac{6}{\sin(40^\circ)} \approx \frac{6}{0{,}643} \approx 9{,}33\,\text{cm}$

Hier passiert in Klassenarbeiten der häufigste Fehler: Statt zu teilen, wird multipliziert. Eine schnelle Kontrolle hilft: Die Hypotenuse muss länger sein als jede Kathete. $9{,}33\,\text{cm} > 6\,\text{cm}$ – passt.

Wie berechnet man einen Winkel?

Einen Winkel berechnest du mit der Umkehrfunktion $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ oder $\tan^{-1}$. Auf den meisten Taschenrechnern erreichst du sie mit SHIFT bzw. 2nd und der jeweiligen Taste.

Beispiel 3: Winkel aus zwei Katheten

Gegeben sind die Gegenkathete $a = 5\,\text{cm}$ und die Ankathete $b = 12\,\text{cm}$. Gesucht ist $\alpha$. Beide Katheten sind beteiligt, also nimmst du den Tangens:

$\tan(\alpha) = \frac{5}{12} \approx 0{,}417 \quad \Rightarrow \quad \alpha = \tan^{-1}\!\left(\frac{5}{12}\right) \approx 22{,}6^\circ$

Den zweiten spitzen Winkel bekommst du über die Winkelsumme im Dreieck: $\beta = 180^\circ - 90^\circ - 22{,}6^\circ = 67{,}4^\circ$.

Wo braucht man Trigonometrie im Alltag?

Trigonometrie steckt überall dort, wo eine Höhe oder Entfernung schwer direkt zu messen ist. Ein typisches Beispiel ist die Leiter an der Hauswand.

Beispiel: Eine 6 m lange Leiter lehnt an einer Wand und bildet mit dem Boden einen Winkel von $70^\circ$. In welcher Höhe berührt sie die Wand?

Die Leiter ist die Hypotenuse, die gesuchte Höhe liegt dem $70^\circ$-Winkel gegenüber – also Sinus:

$h = 6 \cdot \sin(70^\circ) \approx 6 \cdot 0{,}940 \approx 5{,}64\,\text{m}$

Genauso berechnest du die Höhe eines Baums über seinen Schatten (Tangens) oder den Höhenunterschied einer Rampe (Sinus). Wenn dir das Aufstellen und Umstellen solcher Gleichungen noch schwerfällt, übe zuerst Gleichungen mit zwei Schritten.

Typische Fehler bei Sinus, Kosinus und Tangens

• Taschenrechner im Modus RAD: $\sin(30)$ ergibt dann $-0{,}988$ statt $0{,}5$. Prüfe vor jeder Arbeit, ob „D“ oder „DEG“ im Display steht.
• Falscher Bezugswinkel: Gegen- und Ankathete werden vom falschen Winkel aus bestimmt.
• Hypotenuse als Kathete verwendet: Die Hypotenuse liegt immer gegenüber dem rechten Winkel – nie am Bezugswinkel „an“.
• Multiplizieren statt Dividieren: Steht die gesuchte Seite im Nenner, musst du teilen.
• Nur im rechtwinkligen Dreieck: Die Formeln gelten nur, wenn ein 90°-Winkel vorhanden ist. Sonst brauchst du Sinus- oder Kosinussatz.

Übungsaufgaben mit Lösungen

Rechne zuerst selbst und runde auf zwei Nachkommastellen bzw. eine Nachkommastelle bei Winkeln. Weitere Aufgaben mit sofortiger Kontrolle findest du in der Übung oben.

1. $\alpha = 50^\circ$, $c = 10\,\text{cm}$. Berechne $b$.
2. $\alpha = 28^\circ$, $b = 7\,\text{cm}$. Berechne $a$.
3. $a = 4\,\text{cm}$, $c = 9\,\text{cm}$. Berechne $\alpha$.
4. $\beta = 60^\circ$, $c = 12\,\text{cm}$. Berechne die Gegenkathete von $\beta$.

Lösungen:

1. Ankathete und Hypotenuse → Kosinus: $b = 10 \cdot \cos(50^\circ) \approx 6{,}43\,\text{cm}$
2. Gegenkathete und Ankathete → Tangens: $a = 7 \cdot \tan(28^\circ) \approx 3{,}72\,\text{cm}$
3. Gegenkathete und Hypotenuse → Sinus: $\alpha = \sin^{-1}\!\left(\frac{4}{9}\right) \approx 26{,}4^\circ$
4. Die Gegenkathete von $\beta$ ist $b$: $b = 12 \cdot \sin(60^\circ) \approx 10{,}39\,\text{cm}$

Fazit

Sinus, Kosinus und Tangens wirken anfangs abstrakt, folgen aber immer demselben Muster: rechten Winkel finden, Bezugswinkel markieren, Seiten benennen, Funktion wählen, umstellen. Wer diesen Ablauf sicher beherrscht, löst auch Sachaufgaben ohne Raten. Übe die Zuordnung von Gegen- und Ankathete so lange, bis sie automatisch klappt – das ist der Schlüssel. Wenn du dich gezielt auf eine Mathearbeit vorbereiten willst, hilft dir unsere Checkliste Mathe-Klassenarbeit vorbereiten. Und wenn du persönliche Unterstützung möchtest, erklärt dir eine Lehrkraft in der Online-Nachhilfe Mathematik für das Gymnasium die Trigonometrie Schritt für Schritt.

Häufige Fragen zu Sinus, Kosinus und Tangens

In welcher Klasse lernt man Sinus, Kosinus und Tangens? Die Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck steht in den meisten Bundesländern in Klasse 9 oder 10 auf dem Lehrplan, meist direkt nach dem Satz des Pythagoras. An Realschulen kommt sie oft in Klasse 10 vor.

Wann nehme ich Sinus, wann Kosinus, wann Tangens? Das entscheiden die beteiligten Seiten. Gegenkathete und Hypotenuse → Sinus, Ankathete und Hypotenuse → Kosinus, Gegenkathete und Ankathete → Tangens.

Warum kommt bei meinem Taschenrechner etwas Falsches heraus? Meist steht der Taschenrechner im Bogenmaß (RAD) statt in Grad (DEG). Stelle ihn auf DEG um und rechne zur Kontrolle $\sin(30^\circ)$ – es muss $0{,}5$ herauskommen.

Was ist der Unterschied zwischen sin und sin⁻¹? $\sin$ macht aus einem Winkel ein Seitenverhältnis, $\sin^{-1}$ macht aus einem Seitenverhältnis wieder einen Winkel. Ist ein Winkel gesucht, brauchst du also die Umkehrfunktion.

Kann ein Sinus größer als 1 sein? Nein. Im rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse die längste Seite, deshalb liegen Sinus und Kosinus immer zwischen 0 und 1. Der Tangens dagegen kann beliebig groß werden.